【考试大纲】全国高等院校数学能力挑战赛考试大纲
时间:2023-12-28 14:10:45 浏览:34047


全国高等院校数学能力挑战赛考试内容按照初赛和决赛划分。

 

一、初赛考试内容

 

全国高等院校数学能力挑战赛(初赛)考试内容为高等数学,具体如下:

 

1.函数、极限、连续

(1)函数的概念及表示法,函数关系的建立;

(2)函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性;

(3)复合函数、反函数、分段函数和隐函数、基本初等函数的性质及其图形、初等函数;

(4)数列极限与函数极限的定义及其性质、函数的左极限和右极限;

(5)无穷小量和无穷大量的概念及其关系、无穷小量的性质及无穷小量的比较;

(6)极限的四则运算、极限存在的两个准则(单调有界准则和夹逼准则)、两个重要极限;

(7)函数连续的概念、函数间断点的类型、初等函数的连续性、闭区间上连续函数的性质。

 

2.一元函数微分学

(1)导数和微分的概念、导数的几何意义和物理意义、函数的可导性与连续性之间的关系、平面曲线的切线和法线;

(2)导数和微分的四则运算、基本初等函数的导数、复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分、高阶导数的概念及运算;

(3)微分中值定理、洛必达法则、泰勒公式等;

(4)函数单调性的判别、函数的极值、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线、函数的最大值与最小值、弧微分、曲率的概念、曲率圆与曲率半径。

 

3.一元函数积分学

(1)原函数和不定积分的概念、不定积分的基本性质、基本积分公式;

(2)定积分的概念和基本性质、定积分中值定理、积分上限的函数及其导数、牛顿-莱布尼茨公式;

(3)不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法;

(4)有理函数的积分;

(5)反常(广义)积分、定积分的应用。

 

4.常微分方程

(1)常微分方程的基本概念、变量可分离的微分方程、齐次微分方程、一阶线性微分方程;

(2)可降阶的高阶微分方程、线性微分方程解的性质及解的结构定理;

(3)高阶线性微分方程;

(4)简单的二阶常系数齐次及非齐次线性微分方程、微分方程的简单应用。

 

5.向量代数与空间解析几何

(1)向量的概念、向量的线性运算、向量的数量积和向量积、向量的混合积、两向量的夹角、向量的坐标表达式及其运算、单位向量、方向数与方向余弦;

(2)曲面方程和空间曲线方程的概念、平面方程、直线方程;

(3)平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件、点到平面和点到直线的距离、球面、柱面、旋转曲面;

(4)常用的二次曲面方程及其图形、空间曲线的参数方程和一般方程、空间曲线在坐标面上的投影曲线方程。

 

6.多元函数微分学

(1)多元函数的概念、二元函数的几何意义、二元函数的极限与连续的概念、有界闭区域上多元连续函数的性质;

(2)多元函数的偏导数和全微分、全微分存在的必要条件和充分条件;

(3)多元复合函数、隐函数的求导法、二阶偏导数、方向导数和梯度;

(4)空间曲线的切线和法平面、曲面的切平面和法线;

(5)二元函数的二阶泰勒公式、多元函数的极值和条件极值、多元函数的最大值、最小值及其简单应用。


7.多元函数积分学

(1)二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用;

(2)两类曲线积分的概念、性质及计算,两类曲线积分的关系;

(3)格林(Green)公式、平面曲线积分与路径无关的条件、二元函数全微分的原函数;

(4)两类曲面积分的概念、性质及计算,两类曲面积分的关系;

(5)高斯(Gauss)公式、斯托克斯(Stokes)公式、散度和旋度的概念及计算;

(6)曲线积分和曲面积分的应用。

 

8.无穷级数

(1)常数项级数的收敛与发散的概念、收敛级数的和的概念、级数的基本性质与收敛的必要条件;

(2)几何级数与p级数及其收敛性、正项级数收敛性的判别法、交错级数与莱布尼茨定理;

(3)任意项级数的绝对收敛与条件收敛、函数项级数的收敛域与和函数的概念;

(4)幂级数及其收敛半径、收敛区间(指开区间)和收敛域、幂级数的和函数、幂级数在其收敛区间内的基本性质、简单幂级数的和函数的求法;

(5)初等函数的幂级数展开式、函数的傅里叶(Fourier)系数与傅里叶级数、狄利克雷(Dirichlet)定理;

(6)函数在[−l,l]上的傅里叶级数、函数在[0,1]上的正弦级数和余弦级数。

 

二、决赛考试内容

 

全国高等院校数学能力挑战赛(决赛)考试内容为高等数学、线性代数、概率论与数理统计,具体如下:

 

(一)高等数学

1.函数、极限、连续

(1)函数的概念及表示法,函数关系的建立;

(2)函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性;

(3)复合函数、反函数、分段函数和隐函数、基本初等函数的性质及其图形、初等函数;

(4)数列极限与函数极限的定义及其性质、函数的左极限和右极限;

(5)无穷小量和无穷大量的概念及其关系、无穷小量的性质及无穷小量的比较;

(6)极限的四则运算、极限存在的两个准则(单调有界准则和夹逼准则)、两个重要极限;

(7)函数连续的概念、函数间断点的类型、初等函数的连续性、闭区间上连续函数的性质。

 

2.一元函数微分学

(1)导数和微分的概念、导数的几何意义和物理意义、函数的可导性与连续性之间的关系、平面曲线的切线和法线;

(2)导数和微分的四则运算、基本初等函数的导数、复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分、高阶导数的概念及运算;

(3)微分中值定理、洛必达法则、泰勒公式等;

(4)函数单调性的判别、函数的极值、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线、函数的最大值与最小值、弧微分、曲率的概念、曲率圆与曲率半径。

 

3.一元函数积分学

(1)原函数和不定积分的概念、不定积分的基本性质、基本积分公式;

(2)定积分的概念和基本性质、定积分中值定理、积分上限的函数及其导数、牛顿-莱布尼茨公式;

(3)不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法;

(4)有理函数的积分;

(5)反常(广义)积分、定积分的应用。

 

4.常微分方程

(1)常微分方程的基本概念、变量可分离的微分方程、齐次微分方程、一阶线性微分方程;

(2)可降阶的高阶微分方程、线性微分方程解的性质及解的结构定理;

(3)高阶线性微分方程;

(4)简单的二阶常系数齐次及非齐次线性微分方程、微分方程的简单应用。


5.向量代数与空间解析几何

(1)向量的概念、向量的线性运算、向量的数量积和向量积、向量的混合积、两向量的夹角、向量的坐标表达式及其运算、单位向量、方向数与方向余弦;

(2)曲面方程和空间曲线方程的概念、平面方程、直线方程;

(3)平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件、点到平面和点到直线的距离、球面、柱面、旋转曲面;

(4)常用的二次曲面方程及其图形、空间曲线的参数方程和一般方程、空间曲线在坐标面上的投影曲线方程。

 

6.多元函数微分学

(1)多元函数的概念、二元函数的几何意义、二元函数的极限与连续的概念、有界闭区域上多元连续函数的性质;

(2)多元函数的偏导数和全微分、全微分存在的必要条件和充分条件;

(3)多元复合函数、隐函数的求导法、二阶偏导数、方向导数和梯度;

(4)空间曲线的切线和法平面、曲面的切平面和法线;

(5)二元函数的二阶泰勒公式、多元函数的极值和条件极值、多元函数的最大值、最小值及其简单应用。

 

7.多元函数积分学

(1)二重积分与三重积分的概念、性质、计算和应用;

(2)两类曲线积分的概念、性质及计算,两类曲线积分的关系;

(3)格林(Green)公式、平面曲线积分与路径无关的条件、二元函数全微分的原函数;

(4)两类曲面积分的概念、性质及计算,两类曲面积分的关系;

(5)高斯(Gauss)公式、斯托克斯(Stokes)公式、散度和旋度的概念及计算;

(6)曲线积分和曲面积分的应用。

 

8.无穷级数

(1)常数项级数的收敛与发散的概念、收敛级数的和的概念、级数的基本性质与收敛的必要条件;

(2)几何级数与p级数及其收敛性、正项级数收敛性的判别法、交错级数与莱布尼茨定理;

(3)任意项级数的绝对收敛与条件收敛、函数项级数的收敛域与和函数的概念;

(4)幂级数及其收敛半径、收敛区间(指开区间)和收敛域、幂级数的和函数、幂级数在其收敛区间内的基本性质、简单幂级数的和函数的求法;

(5)初等函数的幂级数展开式、函数的傅里叶(Fourier)系数与傅里叶级数、狄利克雷(Dirichlet)定理;

(6)函数在[−l,l]上的傅里叶级数、函数在[0,1]上的正弦级数和余弦级数。

 

(二)线性代数

1.行列式

(1)行列式的概念和基本性质;

(2)行列式按行(列)展开定理。

 

2.矩阵

(1)矩阵的概念、矩阵的线性运算、矩阵的乘法、方阵的幂、方阵乘积的行列式、矩阵的转置;

(2)逆矩阵的概念和性质、矩阵可逆的充分必要条件;

(3)伴随矩阵、矩阵的初等变换、初等矩阵、矩阵的秩、矩阵的等价;

(4)分块矩阵及其运算。

 

3.向量

(1)向量的概念、向量的线性组合与线性表示;

(2)向量组的线性相关与线性无关、向量组的极大线性无关组;

(3)等价向量组、向量组的秩、向量组的秩与矩阵的秩之间的关系;

(4)向量空间及其相关概念、n维向量空间的基变换和坐标变换、过渡矩阵;

(5)向量的内积、线性无关向量组的正交规范化方法、规范正交基、正交矩阵及其性质。

 

4.线性方程组

(1)线性方程组的克拉默(Cramer)法则;

(2)齐次线性方程组有非零解的充分必要条件、非齐次线性方程组有解的充分必要条件;

(3)线性方程组解的性质和解的结构;

(4)齐次线性方程组的基础解系、通解和解空间,非齐次线性方程组的通解。

 

5.矩阵的特征值和特征向量

(1)矩阵的特征值和特征向量的概念、性质;

(2)相似变换、相似矩阵的概念及性质;

(3)矩阵可相似对角化的充分必要条件及相似对角矩阵、实对称矩阵的特征值、特征向量及其相似对角矩阵。

 

6.二次型

(1)二次型及其矩阵表示、合同变换与合同矩阵、二次型的秩、惯性定理、二次型的标准形和规范形;

(2)用正交变换和配方法化二次型为标准形、二次型及其矩阵的正定性。

 

(三)概率论与数理统计

1.随机事件和概率

(1)随机事件与样本空间、事件的关系与运算、完备事件组;

(2)概率的概念、概率的基本性质、古典型概率、条件概率;

(3)概率的基本公式、事件的独立性、独立重复试验。

 

2.随机变量及其分布

(1)随机变量、随机变量分布函数的概念及其性质;

(2)离散型随机变量的概率分布、连续型随机变量的概率密度;

(3)常见随机变量的分布、随机变量函数的分布

 

3.多维随机变量及其分布

(1)多维随机变量及其分布、二维离散型随机变量的概率分布、边缘分布和条件分布;

(2)二维连续型随机变量的概率密度、边缘概率密度和条件密度;

(3)随机变量的独立性和不相关性、常用二维随机变量的分布;

(4)两个及两个以上随机变量简单函数的分布。

 

4.随机变量的数字特征

(1)随机变量的数学期望(均值)、方差、标准差及其性质;

(2)随机变量函数的数学期望,矩、协方差矩阵、相关系数及其性质。

 

5.大数定律和中心极限定理

(1)切比雪夫(Chebyshev)不等式、切比雪夫大数定律;

(2)伯努利(Bernoulli)大数定律、辛钦(Khinchine)大数定律;

(3)棣莫弗-拉普拉斯(DeMoivre-Laplace)定理、列维-林德伯格(Levy-Lindberg)定理。

 

6.参数估计

(1)点估计的概念、估计量与估计值、矩估计法、最大似然估计法;

(2)估计量的评选标准、区间估计的概念;

(3)单个正态总体的均值和方差的区间估计、两个正态总体的均值差和方差比的区间估计。

 

7.假设检验

(1)显著性检验、假设检验的两类错误;

(2)单个及两个正态总体的均值和方差的假设检验。

banner